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(完整版)三角函数公式的推导及公式大全,推荐文

2022-01-14 08:57:45来源:(完整版)三角函数公式的推导及公式大全,推荐文编辑:

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1、万能公式推导三倍角公式三倍角公式推导三倍角公式联想记忆和差化积公式积化和差公式和差化积公式推导诱导公式目录诱导公式诱导公式记忆口诀同角三角函数基本关系同角三角函数关系六角形记忆法两角和差公式倍角公式半角公式万能公式29诱导公式诱导公式常用的诱导公式有以下几组:公式一:设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2k)sin cos(2k)cos tan(2k)tan cot(2k)cot公式二:设 为任意角,+ 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系:sin()sin cos()cos tan()tan cot()cot公式三:任意角 与 - 的三角函数值之间的关系:sin()s

2、in cos()cos tan()tan cot()cot公式四:利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系:sin()sin cos()cos tan()tan cot()cot公式五:利用公式一和公式三可以得到 2- 与 的三角函数值之间的关系:sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan cot(2)cot公式六:/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系:sin(/2)cos cos(/2)sin tan(/2)cot cot(/2)tansin(/2)cos cos(/2)sin tan(/2)cot cot(/2)tansin(3/2)cos cos

3、(3/2)sin tan(3/2)cot cot(3/2)tansin(3/2)cos cos(3/2)sin tan(3/2)cot cot(3/2)tan(以上 kz)诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为:对于 k/2(kz)的个三角函数值,当 k 是偶数时,得到 的同名函数值,即函数名不改变;当 k 是奇数时,得到 相应的余函数值,即 sincos;cossin;tancot,cottan.(奇变偶不变)然后在前面加上把 看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)例如:sin(2)sin(4/2),k4 为偶数,所以取 sin。当 是锐角时,2(270,360),sin(2)

4、0,符号为“”。所以 sin(2)sin上述的记忆口诀是:奇变偶不变,符号看象限。公式右边的符号为把 视为锐角时,角 k360+(kz),-、180,360- 所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变;符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”; 第二象限内只有正弦是“”,其余全部是“”; 第三象限内切函数是“”,弦函数是“”;第四象限内只有余弦是“”,其余全部是“”其他三角函数知识:同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系:tan cot1 sin

5、 csc1 cos sec1 商的关系:sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec 平 方 关 系 : sin2()cos2()1 1tan2()sec2() 1cot2()csc2()同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法:(参看图片或参考资料链接)构造以上弦、中切、下割;左正、右余、中间 1的正六边形为模型。(1) 倒数关系:对角线上两个函数互为倒数;(2) 商数关系:六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此,可得商数关系式。(3) 平方关系:在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数

6、值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin()sincoscossin sin()sincoscossin cos()coscossinsin cos()coscossinsintantantan()1tan tantantantan()1tan tan倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式) sin22sincos cos2cos2()sin2()2cos2()112sin2()2tan tan21tan2()半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)1cos sin2(/2)21cos cos2(/2)21cos tan2(/

7、2)1cos万能公式万能公式2tan(/2) sin1tan2(/2)1tan2(/2) cos1tan2(/2)2tan(/2) tan1tan2(/2)万能公式推导附 推 导 : sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*,(因为 cos2()+sin2()=1)再把*分式上下同除 cos2(),可得 sin2tan2/(1tan2() 然后用 /2 代替 即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin33sin4sin3() cos34cos3()3cos3tantan3() tan313t

8、an2()三倍角公式推导附 推 导 : tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上 下 同 除 以 cos3(), 得 : tan3(3tantan3()/(1-3tan2()sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3sin4sin3()cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3(

9、)cos(2cos2cos3()4cos3()3cos 即sin33sin4sin3() cos34cos3()3cos 三倍角公式联想记忆记忆方法:谐音、联想正弦三倍角:3 元 减 4 元 3 角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”)) 余弦三倍角:4 元 3 角 减 3 元(减完之后还有“余”)注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。和差化积公式三角函数的和差化积公式 sinsin2sin-cos-22 sinsin2cos-sin-22 coscos2cos-cos-22 coscos2sin-sin-22积化和差公式三角函数的积化和差公式sin

10、 cos0.5sin()sin() cos sin0.5sin()sin() cos cos0.5cos()cos() sin sin 0.5cos()cos()和差化积公式推导附推导:首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*co

11、sb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这 样 , 我 们 就 得 到 了 积 化 和 差 的 四 个 公 式 : sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 si

12、na*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)利用变角思想.A

13、=(A+B)/2+(A-B)/2 B=(A+B)/2-(A-B)/2sinA+sinB=sin(A+B)/2+(A-B)/2+sin(A+B)/2-(A-B)/2=sin(A+B)/2*cos(A-B)/2+cos(A+B)/2*sin(A-B)/2+sin(A+B)/2*cos(A-B)/2-cos(A+B)/2*sin(A-B)/2=2sin(A+B)/2*cos(A-B)/2其它的同理可得回答:2008-09-21 15:32提问者对答案的评价: 其他回答 共 1 条回答评论 举报SBB55 学 长 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-

14、cosasinb 两式求和得sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb 此式从右往左即为积化和差令 a+b=x.a-b=y, 则 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 得sinx+siny=1/2*sin(x+y)/2cos(x-y)/2这就是和差化积仿此可得其余 6 个公式三角函数相关公式大全关键词: 三角公式三角函数最近复习微积分,几个三角函数的转换弄得我晕头转向,本来高中的时候就没记熟,现在又得记一遍了=.=好郁闷,进度太慢了.1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义图 1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形 ABC,如下定义六个三角函数: 正弦函数 余弦函数

15、正切函数 余切函数 正割函数 余割函数1.2 直角坐标系中的定义图 2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中,如下定义六个三角函数: 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数2 转化关系2.1 倒数关系2.2 平方关系2 和角公式3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式3.2 半角公式3.3 万能公式4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式4.2 和差化积公式三角函数公式大全三角函数4cosx3sinxy2sinx1cosxxcosx1sinx2sinx3cosx4SINCOS三角函数值大小关系图1 2 3 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域1.与a(0a360

16、)终边相同的角的集合(角a与角a的终边重合):a| a=k 360o +a, k Z终边在 x 轴上的角的集合: a| a=k 180o , k Z终边在 y 轴上的角的集合: a| a=k 180o+ 90o , k Z终边在坐标轴上的角的集合: a| a=k 90o , k Z终边在 y=x 轴上的角的集合: a| a=k 180o + 45o , k Z终边在 y=-x 轴上的角的集合: a| a=k 180o - 45o , k Z若角a与角a的终边关于 x 轴对称,则角a与角a的关系:a=360o k - a若角a与角a的终边关于 y 轴对称,则角a与角a的关系:a

17、=360o k +180o - a若角a与角a的终边在一条直线上,则角a与角a的关系:a=180o k + a角a与角a的终边互相垂直,则角a与角a的关系:a=360o k + a 90o2. 角度与弧度的互换关系:360=2a 180=a 1=0.017451=57.30=5718注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式:1rad 180 57.30=57181a a 0.01745(rad)1803、弧长公式:l=|a|r .扇形面积公式: s扇形=1 lr=1 |a| r 2224、三角函数:设a是一个任意角,在a的终边上任取(异

18、于原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则ya的 的 的sina=y ;rseca=r ;.xcosa=x ;rcsca=r .ytana=y ;xcota=x ;yP、 x,y)rox5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)yTy+o-+-xy-o+-xy-+- +oxPOM A x、 、 、 、 、 、 、 、6、三角函数线正弦线:MP;余弦线:OM;正切线: AT.7. 三角函数的定义域:三角函数定义域f (x)=sinxx | x Rf (x)=cosxx | x Rf (x)=tanx1x | x R 且 x ka+ a, k Z2f

19、 (x)=cotxx | x R且x ka, k Zf (x)=secx1x | x R 且 x ka+ a, k Z2f (x)=cscxx | x R且x ka, k Z8、同角三角函数的基本关系式: sina=tanacosatana cota=1 csca sin a=1seca cosa=1cosa=cota sina16. 个个个个个个:(1)y(2)y|sinx|cosx|sinxcosxO|cosx|sinx|xO|cosx|sinx|xcosxsinx|sinx|cosx|p(3) 个 ox 2 ,个 sinxxtanxsin 2 a+ cos2

20、a=1 sec2 a- tan 2 a=1 csc2 a- cot 2 a=19、诱导公式:ka把的三角a函数化为的三角a函数,概括为:2“奇变偶不变,符号看象限”三角函数的公式:(一)基本关系公式组一sinxcscx=1tanx=sin xsin2x+cos2x=1cos xcosxsecx=1x=cos xsin x1+tan2 x=sec2xtanxcotx=11+cot2x=csc2x公式组二sin(2ka+ x)=sin xcos(2ka+ x)=cos x tan(2ka+ x)=tan x cot(2ka+ x)=cot x公式组三sin(-x)=

21、- sin xcos(-x)=cos x tan(-x)=- tan x cot(-x)=- cot x公式组四sin(a+ x)=- sin xcos(a+ x)=- cos x tan(a+ x)=tan x cot(a+ x)=cot x公式组五sin(2a- x)=- sin xcos(2a- x)=cos x tan(2a- x)=- tan x cot(2a- x)=- cot x公式组六sin(a- x)=sin xcos(a- x)=- cos x tan(a- x)=- tan x cot(a- x)=- cot x

22、(二)角与角之间的互换公式组一公式组二cos(a+a)=cosacos a- sinasin a cos(a-a)=cosacosa+ sinasin asin 2a=2 sinacosacos 2a=cos 2 a- sin 2 a=2 cos 2 a-1=1- 2 sin 2 asin(a+a)=sinacos a+ cosasin asin(a-a)=sinacosa- cosasin atan 2a=sin a=22 tana 1- tan 2 a1- cosa2tan(a+ a)=tan(a- a)=tana+ tan a 1- tanatan atan

23、a- tan a 1+ tanatan acos a=1+ cosa2tan a=21+ cosa 1+ cosasina1- cosa=sina=1- cosa2cos( 1a-a)=sina 2sin( 1a-a)=cosa 2tan( 1a-a)=cota2cos(1a+a)=-sina 2tan(1a+a)=-cota 2sin(1a+a)=cosa2公式组三公式组四公式组五2 tan asinacosa=1sin(a+a)+sin(a-a)2a1sina=2 1+ tan 22cosasina=s2in(a+a)-sin(a-a)1 ()()1- tan

24、2 acosacosa=cos a+ a + cos a- a2 1cosa=2sinasin a=-cos(a+ a)- cos(a- a)1+ tan 2 a22a+aa- asina+sin a=2sincosaa2 aa2 a2 tantana=2 sina- sin a=2 cos+ sin-222 acosa+ cos a=2 cosa+ aa- acos1- tan2a+a2cosa-cosa=-2sinsina2- a3=2 tan 75o 2cotsin15o=cos 75o=6 -4, , tan15o=cot 75o=2 - 3 ,.215o=

25、 2 +sin 75o=cos15o=6 + 2410. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:y=sin xy=cos xy=tan xy=cot xy=Asin(ax+a)(A、a0)定义域RRx | x R且x ka+ 1 a,k Z 2x| x R且x ka,k ZR值域-1,+1-1,+1RR- A, A周期性2a2aaa2aa奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当a 0, 非奇非偶当a=0, 奇函数单调性- a+ 2ka, 2a+ 2ka 2上为增函数;a+ 2ka, 23a+ 2ka2上为减函数( k Z )(2k -1)a,2ka;上为增函 数2ka,(

26、2k +1)a上为减函数( k Z )- aa+ ka,+ ka22上为增函数(k Z )(ka, (k +1)a)上为减函数( k Z )a2ka- -a 2( A),a12ka+ a-a2(- A)a上为增函数;a2ka+ 2 -aa( A), 32ka+ a-a 2(- A)a上为减函数(k Z )注意: y=- sin x 与 y=sin x 的单调性正好相反; y=- cos x 与 y=cos x 的单调性也同样相 y上递减(增).xO反.一般地,若 y=f (x) 在a, b 上递增(减),则 y=- f (x) 在a, b y=sin x 与 y=

27、 cos x 的周期是a.a y=sin(ax +a) 或 y=cos(ax +a) (a 0 )的周期T=2a .y=tan x 的周期为 2a(T=2a T=2a,如图,翻折无效).a y=sin(ax +a) 的对称轴方程是 x=ka+ a ( k Z ),对称中心( ka,0 );2y=cos(ax +a) 的对称轴方程是 x=ka( k Z ),对称中心( ka+ 1a,0 );2y=tan(ax+a)的对称中心( ka2,0 ).y=cos 2x 原点对称 y=-cos(-2x)=-cos 2x(k(k当tana tan a=

28、1, a+ a=ka+ a Z ) ; tana tan a=-1, a- a=ka+ a Z ) . y=cos x 与=aa22,而 y=(ax +a) 是偶函数,则ysin x + 2k是同一函数2y=(ax +a)=sin(ax + ka + 1a)=cos(ax) .2函数 y=tan x 在 R 上为增函数.() 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,y=tan x 为增函数,同样也是错误的.定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数: f

29、 (-x)=f (x) ,奇函数:f (-x)=- f (x) )奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y=tan x 是奇函数, y=tan(x + 1a) 是非奇非偶.(定3义域不关于原点对称)奇函数特有性质:若0 x 的定义域,则 f (x) 一定有 f (0)=0 .( 0 x 的定义域,则无此性质)yy y=sin x 不是周期函数; y=sin x 为周期函数( T=a);x1/2y=cos x 是周期函数(如图); y=cos x 为周期函数( T=a); xy=cos|x|图象y=cos 2x + 1 的周期为a(如图),并非所有周

30、期函数都有最小正周期,例如:2a 2 +b 2y=f (x)=5=f (x + k ), k R .y=|cos2x+1/2|图象a 2 +b 2sin(a+a) + cosa=有b y=a cosa+ b sin a=a y .三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin(x)的振幅|A|,周期T=2a ,频率 f=1=|a| ,相位ax +a; 初相|a|T2aa(即当 x0 时的相位)(当 A0,0 时以上公式可去绝对值符号),由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|1)或缩短(当0|A|1)到原来的|A|倍

31、,得到 yAsinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换(用 y/A 替换 y)由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0|1)或缩短(|1)到原来的| 1 | 倍,得到 ysin x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变a换(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左(当 0)或向右(当 0)平行移动个单位,得到 ysin(x)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换x)由 ysinx 的图象上所有的点向上(当 b0)或向下(当 b0)平行移动b个单位,得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移(用 y+(-b)替换

32、 y)由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin(x)(A0,0)(xR)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区别。高中数学三角函数常见习题类型及解法1. 三角函数恒等变形的基本策略。(1) 常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。(2) 项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(asi-n2ax+cos2x)22a+等。+cos x=1+cos x;配凑角:=(+),=2a2(3) 降次与升次。(4)化弦(切)法。a 2 + b 2(4) 引入辅助角。asin+bco

33、s=sin(+a),这里辅助角a所在象限由a、b 的符号确定,a角的值由tana=2. 证明三角等式的思路和方法。b 确定。a(1) 思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。(2) 证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3. 证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。4. 解答三角高考题的策略。(1) 发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。(2) 寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。(3) 合理转化:选择恰当的公式,

34、促使差异的转化。四、例题分析例 1已知tana=,求(1) cosa+ sina;(2)2cosa- sinasin 2 a- sina.cosa+ 2 cos2 a的值.cosa+ sina1 + csoinsa21 + tana解:(1)==-3 - 2;cosa+ sina1 +21 -221- sinacosa21 - tanasin 2 q - sin qcosq + 2 cos2 q(2) sin q - sin qcosq + 2 cos q=sin 2 q - sin q +2sin 2 q + cos2 q=cos2 qcosqsin 2 q+12 -+ 24 -22

35、 .2 +13cos2 q说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。例 2求函数 y=1+ sin x + cos x + (sin x + cos x)2 的值域。解:设t=sin x + cos x=2 sin(x + ) - 2即42,则原函数可化为y=t 2 + t +1=(t +1 )2 + 3 ,因为t - 2即242 ,所以22当t=时, y=3 +,当t=- 1 时, y=3 ,max所以,函数的值域为 y 3即3 +422 。min4例 3已知函数 f (x)=4 sin2 x + 2 s

36、in 2x - 2即 x R 。(1) 求 f (x) 的最小正周期、 f (x) 的最大值及此时 x 的集合;(2) 证明:函数 f (x) 的图像关于直线 x=- 对称。8解: f (x)=4 sin2 x + 2 sin 2x - 2=2 sin x - 2(1- 2 sin2 x)=2 sin 2x - 2 cos 2x=sin(2x - )2 24(1) 所以 f (x) 的最小正周期T=,因为 x R ,2所以,当2x -=2k + ,即 x=k + 3 时, f (x) 最大值为2;428(2) 证明:欲证明函数 f (x) 的图像关于直线 x=-

37、 对称,只要证明对任意 x R ,8有 f (- - x)=f (- + x) 成立,88因为 f (- - x)=2 2 sin2(- - x) -=2 2 sin(- - 2x)=-2 2 cos 2x , 8842f (- + x)=2 2 sin2(- + x) -=2 2 sin(- + 2x)=-2 2 cos 2x , 8842所以 f (- - x)=f (- + x) 成立,从而函数 f (x) 的图像关于直线 x=- 对称。888312例 4 已知函数 y=2 cos x+ 2 sinxcosx+1(xR),(1) 当函数 y 取得最大

38、值时,求自变量 x 的集合;(2) 该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?31212解:(1)y=2 cos x+ 21 + 3 (2sinxcosx)+144sinxcosx+1=4(2cos x1)+=1 cos2x+ 3 sin2x+ 5=1 (cos2xsin a +sin2xcos a)+ 544426641 sin(2x+a )+ 5=264a a所以 y 取最大值时,只需 2x+=+2k,(kZ),即62ax=+k,(kZ)。6a所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为x|x=6+k,kZ(2) 将函数 y=sinx

39、依次进行如下变换:aa(i) 把函数 y=sinx 的图像向左平移 ,得到函数 y=sin(x+ )的图像;661(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到2a函数 y=sin(2x+ )的图像;61(iii) 把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变),得21a到函数 y=sin(2x+ )的图像;5个单位长度1a,得到函数 42626(iv) 把得到的图像向上平移5 的图像。4y=sin(2x+ )+123综上得到 y=cos x+ sinxcosx+1 的图像。22说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质

40、。这类题一般有两种解法:一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,a 2 + b 2降幂后最终化成 y=sin (x+a)+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当 cosx=0 时,y=1;当 cosx0 时,1 cos2 x +3 sin x cos x1 +3 tan xy=22+1=22+1sin2 x + cos2 x1 + tan 2 x3化简得:2(y1)tan2xtanx+2y3=037tanxR,=38(y1)(2y3) 0,解之得: y447aymax=,此时对应自变量 x 的值集为x|x=k+ ,kZ4例 5已知函数 f (x)=

41、 sin x cos x +3363 cos2 x .3()将 f(x)写成 A sin(ax +a) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;()如果ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x的范围及此时函数 f(x)的值域.33sin)解: f (x)=12x + 3 (1 + cos 2x )=1 sin 2x +3 cos 2x +=sin( 2x + a + aa232323232332()由sin( 2x +)=0 即2x +=ka(k z)得x=3k -1ak z33332即对称中心的横坐标为 3k -1a,2k z()由已知 b

42、2=aca 2 + c 2 - b 2cos x=2ac=a 2 + c 2 - ac 2ac2ac - ac2ac=1 ,2 1 cos x 1,0 x a,a |- |,sin sin(+ ) 1, sin(+ ) 1 + 3292333332即 f (x) 的值域为(综上所述, x 3,1 +.32a,f (x) 值域为(3,1 +3 .(0,32说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培养学生的运算能力,对知识进行整合的能力。cos C例 6在A ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且cos

43、B3a - c ,=b(1) 求sin B 的值;2(2) 若b=4,且 a=c,求A ABC 的面积。解:(1)由正弦定理及 cos C=3a - ccos C,有=3sin A - sin C ,cos Bbcos Bsin B即sin B cos C=3sin A cos B - sin C cos B ,所以sin(B + C)=3sin A cos B , 又因为 A + B + C=, sin(B + C)=sin A ,所以sin A=3sin A cos B ,因为1- cos2 Bsin A 0 ,所以cos B=1 ,又0 B ,所以sin

44、 B=3(2)在AABC 中,由余弦定理可得a2 + c2 - 2 ac=32 ,又a=c ,3=2 2 。3所以有4 a2=32即即a2=24 ,所以A ABC 的面积为32S=1 ac sin B=1 a2 sin B=8。22三角函数一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1. 已知点 P(tan,cos)在第三象限,则角 的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限kk2集合 Mx|x 2 4,kZ与 Nx|x 4 ,kZ之间的关系是A.M NB.N MC.MN(D.MN )3. 若将分针拨慢十分钟,则分针所转过的角

45、度是()A.60B.60C.30D.304已知下列各角(角是A.(1)(2)1) 787,(2) 957,(3) 289,(4)1711,其中在第一象限的(B.(2)(3)C.(1)(3)D.(2)(4))5设 a0,角 的终边经过点 P(3a,4a),那么 sin2cos 的值等于)(2211A. 5B.513C. 5D.56. 若 cos()2,22,则 sin(2)等于()3313A. 2B.2C. 2D. 27. 若 是第四象限角,则 是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8. 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是()2A.2B

46、. sin1C.2sin1D.sin2 19. 如果 sinxcosx5,且 0x,那么 cotx 的值是()443343A.3B.3或4C.4D. 3或410. 若实数 x 满足 log2x2sin,则|x1|x10|的值等于()A.2x9B.92xC.11D.9二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)11tan300cot765的值是. sincos12若sincos2,则 sincos 的值是. 13不等式(lg20)2cosx1,(x(0,)的解集为.114. 若 满足 cos2,则角 的取值集合是.15若 cos130a,则 tan50.16已知 f(x),若

47、(2,),则 f(cos)f(cos)可化简为.三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分)设一扇形的周长为 C(C0),当扇形中心角为多大时,它有最大面积?最大面积是多少?18(本小题满分 14 分)设 90180,角 的终边上一点为P(x, 5) ,且 cos24 x,求 sin 与 tan 的值.m342m19(本小题满分 14 分)已知2,sinm5,cos m5 ,求 m 的值.20(本小题满分 15 分)已知 045,且 lg(tan)lg(sin)lg(cos)lg(cot)2lg3 32lg2,求 cos3

48、sin3 的值.21(本小题满分 15 分)已知 sin(5) 0,0,求 和 的值.72cos(2)和 3cos() 2cos(),且三角函数一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1. 下列函数中,最小正周期为 的偶函数是()xA. ysin2xB.ycos21tan2xC.ysin2xcos2xD.y1tan2x2. 设函数 ycos(sinx),则()A. 它的定义域是1,1B.它是偶函数C.它的值域是cos1,cos1D.它不是周期函数3. 把函数 ycosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的两倍,然后把图象向左平移4个单位.则所得

49、图象表示的函数的解析式为()A. y2sin2xB.y2sin2xxC.y2cos(2x4)D.y2cos(24)4. 函数 y2sin(3x4)图象的两条相邻对称轴之间的距离是()24A. 3B. 3C.D. 35. 若 sincosm,且 2m1,则 角所在象限是()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限36. 函数 y|cotx|sinx(0x 2 且 x)的图象是()cos2x7设 y1sinx,则下列结论中正确的是()A.y 有最大值也有最小值B.y 有最大值但无最小值C.y 有最小值但无最大值D.y 既无最大值又无最小值8函数 ysin(42x)的单调增区间是()35A.k 8 ,k8(kZ)3B.k8,k 8 (kZ) 37C.k8,k 8 (kZ)D.k 8 ,k 8 (kZ)19. 已知 0x,且2a0,那么函数 f(x)cos2x2asinx1 的最小值是()A.2a1B.2a1C.2a1D.2a10. 求使函数 ysin(2x) 3cos(2x)为奇函数,且在0,4上是增函数的 的一个值为()542A. 3B. 3C. 3D. 3二、填空题(本大

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